L1 Algèbre Logique, ensemble, raisonnement Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 4 questions

exo7 7040

On définit une suite (Cn)n∈N(C_n)_{n\in\N} par C0=1C_0=1 et pour tout naturel nn, Cn+1=∑k=0nCkCn−kC_{n+1} = \sum_{k=0}^{n}C_kC_{n-k}.

1

Calculer les cinq premiers termes de la suite;

2

Montrer par récurrence que pour tout n≥0n\geq 0, Cn≥2n−1C_n \geq 2^{n-1};

3

Montrer par récurrence forte que pour tout n≥0n\geq 0, Cn≥3n−2C_n \geq 3^{n-2};

4

Tenter de montrer par une récurrence similaire à la précédente que pour tout n≥0n\geq 0, Cn≥4n−2C_n \geq 4^{n-2}. À quel endroit ceci échoue-t-il ? Pourquoi est-il heureux que cela échoue ?

Exercice E3Jq

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