On définit une suite \((C_n)_{n\in\N}\) par \(C_0=1\) et pour tout naturel \(n\), \(C_{n+1} = \sum_{k=0}^{n}C_kC_{n-k}\).
1
Calculer les cinq premiers termes de la suite;
2
Montrer par récurrence que pour tout \(n\geq 0\), \(C_n \geq 2^{n-1}\);
3
Montrer par récurrence forte que pour tout \(n\geq 0\), \(C_n \geq 3^{n-2}\);
4
Tenter de montrer par une récurrence similaire à la précédente que pour tout \(n\geq 0\), \(C_n \geq 4^{n-2}\). À quel endroit ceci échoue-t-il ? Pourquoi est-il heureux que cela échoue ?