L2 Analyse Topologie Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 3 questions

exo7 4854

Soient e⃗1,e⃗2,e⃗3:I⊂R→R3{\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3} : {I\subset \R} \to {\R^3} de classe C1\mathcal{C}^1 telles que pour tout t∈It\in I, Bt=(e⃗1(t),e⃗2(t),e⃗3(t)){\cal B}_t = (\vec e_1(t),\vec e_2(t), \vec e_3(t)) est une base orthonormée de R3\R^3 (base orthonormée mobile).

1

Soit MtM_t la matrice dans Bt{\cal B}_t des vecteurs dérivés e⃗1 ′(t),e⃗2 ′(t),e⃗3 ′(t)\vec e_1\,'(t), \vec e_2\,'(t), \vec e_3\,'(t). Montrer que MtM_t est antisymétrique.

2

En déduire qu’il existe un vecteur Ω⃗(t)\vec \Omega(t) tel que e⃗i ′(t)=Ω⃗(t)∧e⃗i(t)\vec e_i\,'(t) = \vec \Omega(t)\wedge\vec e_i(t), i=1,2,3i=1,2,3.

3

Si e⃗1,e⃗2,e⃗3\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3 sont de classe C2\mathcal{C}^2, montrer que Ω⃗\vec \Omega est de classe C1\mathcal{C}^1 et calculer e⃗i ′′\vec e_i\,'' en fonction de Ω⃗\vec \Omega, Ω⃗ ′\vec \Omega\,' et e⃗i\vec e_i.

Exercice ajuP

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