Soient \({\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telles que pour tout \(t\in I\), \({\cal B}_t = (\vec e_1(t),\vec e_2(t), \vec e_3(t))\) est une base orthonormée de \(\R^3\) (base orthonormée mobile).
Soit \(M_t\) la matrice dans \({\cal B}_t\) des vecteurs dérivés \(\vec e_1\,'(t), \vec e_2\,'(t), \vec e_3\,'(t)\). Montrer que \(M_t\) est antisymétrique.
En déduire qu’il existe un vecteur \(\vec \Omega(t)\) tel que \(\vec e_i\,'(t) = \vec \Omega(t)\wedge\vec e_i(t)\), \(i=1,2,3\).
Si \(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3\) sont de classe \(\mathcal{C}^2\), montrer que \(\vec \Omega\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et calculer \(\vec e_i\,''\) en fonction de \(\vec \Omega\), \(\vec \Omega\,'\) et \(\vec e_i\).