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Vérifier que pour tout cycle $(i_1\, i_2\dots i_p),\; p\geq 2$, dans $S_n$ et toute permutation $\sigma \in S_n$, $$\sigma (i_1\, i_2\dots i_p)\sigma^{-1}=(\sigma(i_1)\, \sigma(i_2)\dots \sigma(i_p))\, .$$

Vérifier que pour tous entiers distincts $i,j\in \lbrace 1,2,\dots n\rbrace$ on a $(i\, j)=(i\, k)(j\, k)(i\, k)$.

En déduire que les familles de transpositions $\lbrace (1\, i)\mid i\in \lbrace 1,2,\dots n\rbrace \rbrace$ et $\lbrace (i\, i+1)\mid i\in \lbrace 1,2,\dots n-1\rbrace \rbrace$ engendrent $S_n$.

Soient $\tau =(1\, 2)$ et $c=(1\, 2\, \dots n)$. Calculer $c^{i-1}\tau c^{1-i}$ pour tout $i\in \lbrace 1,2,\dots n-1\rbrace$. Montrer que toute permutation de $S_n$ s’écrit comme un produit de puissances de $\tau$ et $c$.