Vérifier que pour tout cycle \((i_1\, i_2\dots i_p),\; p\geq 2\), dans \(S_n\) et toute permutation \(\sigma \in S_n\), \[\sigma (i_1\, i_2\dots i_p)\sigma^{-1}=(\sigma(i_1)\, \sigma(i_2)\dots \sigma(i_p))\, .\]
Vérifier que pour tous entiers distincts \(i,j\in \lbrace 1,2,\dots n\rbrace\) on a \((i\, j)=(i\, k)(j\, k)(i\, k)\).
En déduire que les familles de transpositions \(\lbrace (1\, i)\mid i\in \lbrace 1,2,\dots n\rbrace \rbrace\) et \(\lbrace (i\, i+1)\mid i\in \lbrace 1,2,\dots n-1\rbrace \rbrace\) engendrent \(S_n\).
Soient \(\tau =(1\, 2)\) et \(c=(1\, 2\, \dots n)\). Calculer \(c^{i-1}\tau c^{1-i}\) pour tout \(i\in \lbrace 1,2,\dots n-1\rbrace\). Montrer que toute permutation de \(S_n\) s’écrit comme un produit de puissances de \(\tau\) et \(c\).