Soit \(t\) un réel, \(\vert t\vert \le \pi\).
On considère la série de fonctions holomorphes \[\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{(-1)^ke^{ikt}\over k^2-z^2}.\] Montrer que sa somme \(S(z)\) est une fonction méromorphe dans \(\C\).
Soit \(\gamma _n\), \(n\ge 0\), le chemin parcouru dans le sens positif dont l’image \(\gamma _n^*\) dans \(\C\) est le carré de sommets \(\left(n+{1\over 2}\right)(1+i)\), \(\left(n+{1\over 2}\right)(-1+i)\), \(\left(n+{1\over 2}\right)(-1-i)\), \(\left(n+{1\over 2}\right)(1-i)\).
Montrer que, quel que soit \(z\) vérifiant \(z=\left(n+{1\over 2}\right)+iy\), \(-\left(n+{1\over 2}\right)\le y\le n+{1\over 2}\), on a \[\left\vert{e^{itz}\over \sin{\pi z}}\right\vert\le 2\] et que, quel que soit \(z\) vérifiant \(z=x+i\left(n+{1\over 2}\right)\), \(-\left(n+{1\over 2}\right)\le x\le n+{1\over 2}\), on a \[\left\vert{e^{itz}\over \sin{\pi z}}\right\vert\le {2\over 1-e^{-\pi}}.\] En déduire que \(\left\vert{e^{itz}\over \sin{\pi z}}\right\vert\) est bornée sur \(\gamma _n^*\).
Soit \(a\) appartenant à \(\C\setminus {\Zz}\). On pose \[f(z)={e^{itz}\over (z^2-a^2)\sin{\pi z}}.\] Montrer que l’on a \[\lim_{n\to +\infty}\int_{\gamma _n}f(z)dz=0.\]