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On considère la série de fonctions holomorphes $$\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{(-1)^ke^{ikt}\over k^2-z^2}.$$ Montrer que sa somme $S(z)$ est une fonction méromorphe dans $\C$.

Soit $\gamma _n$, $n\ge 0$, le chemin parcouru dans le sens positif dont l’image $\gamma _n^*$ dans $\C$ est le carré de sommets $\left(n+{1\over 2}\right)(1+i)$, $\left(n+{1\over 2}\right)(-1+i)$, $\left(n+{1\over 2}\right)(-1-i)$, $\left(n+{1\over 2}\right)(1-i)$.

Montrer que, quel que soit $z$ vérifiant $z=\left(n+{1\over 2}\right)+iy$, $-\left(n+{1\over 2}\right)\le y\le n+{1\over 2}$, on a $$\left\vert{e^{itz}\over \sin{\pi z}}\right\vert\le 2$$ et que, quel que soit $z$ vérifiant $z=x+i\left(n+{1\over 2}\right)$, $-\left(n+{1\over 2}\right)\le x\le n+{1\over 2}$, on a $$\left\vert{e^{itz}\over \sin{\pi z}}\right\vert\le {2\over 1-e^{-\pi}}.$$ En déduire que $\left\vert{e^{itz}\over \sin{\pi z}}\right\vert$ est bornée sur $\gamma _n^*$.

Soit $a$ appartenant à $\C\setminus {\Zz}$. On pose $$f(z)={e^{itz}\over (z^2-a^2)\sin{\pi z}}.$$ Montrer que l’on a $$\lim_{n\to +\infty}\int_{\gamma _n}f(z)dz=0.$$