Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension \(3\) muni d’un repère cartésien orthonormé \((O,i,j,k)\). On désigne par \(D\) la droite d’équation \((x=0,z=1)\) et par \(D'\) la droite d’équation \((y=0,z=0)\). On note \(S_D\) la symétrie par rapport à la droite \(D\) et \(R_{\theta}\) la rotation d’axe \(D'\) et d’angle \(\theta\) (en considérant la base \((j,k)\) comme directe). On pose \(\varphi=S_D\circ R_{\theta}\).
Écrire dans la base \((i,j,k)\) la matrice de \(\overrightarrow {S_D}\), celle de \(\overrightarrow {R_{\theta}}\) et celle de \(\overrightarrow{\varphi}\). Écrire les expressions analytiques de \(S_D\) et de \(R_{\theta}\) dans le repère \((O,i,j,k)\).
Montrer que \(\varphi\) est une symétrie éventuellement glissée d’axe une droite \(\Delta\).
Pour tout point \(M\) de \(E\), prouver que les milieux de \(\bigl(M,s_\Delta (M)\bigr)\) et de \(\bigl(M,\varphi(M)\bigr)\) sont sur \(\Delta\).
En utilisant le point \(O\), montrer que \(\Delta\) passe par le point de coordonnées \((0,0,1)\). et est contenue dans le plan affine d’équation \(x=0\).
Donner les composantes du vecteur de glissement de \(\varphi\) en fonction de \(\theta\).