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Soit $E$ un espace affine euclidien de dimension $3$ muni d’un repère cartésien orthonormé $(O,i,j,k)$ . On désigne par $D$ la droite d’équation $(x=0,z=1)$ et par $D'$ la droite d’équation $(y=0,z=0)$ . On note $S_D$ la symétrie par rapport à la droite $D$ et $R_{\theta}$ la rotation d’axe $D'$ et d’angle $\theta$ (en considérant la base $(j,k)$ comme directe). On pose $\varphi=S_D\circ R_{\theta}$ .

Écrire dans la base $(i,j,k)$ la matrice de $\overrightarrow {S_D}$ , celle de $\overrightarrow {R_{\theta}}$ et celle de $\overrightarrow{\varphi}$ . Écrire les expressions analytiques de $S_D$ et de $R_{\theta}$ dans le repère $(O,i,j,k)$ .

Montrer que $\varphi$ est une symétrie éventuellement glissée d’axe une droite $\Delta$ .

Pour tout point $M$ de $E$ , prouver que les milieux de $\bigl(M,s_\Delta (M)\bigr)$ et de $\bigl(M,\varphi(M)\bigr)$ sont sur $\Delta$ .

En utilisant le point $O$ , montrer que $\Delta$ passe par le point de coordonnées $(0,0,1)$ . et est contenue dans le plan affine d’équation $x=0$ .

Donner les composantes du vecteur de glissement de $\varphi$ en fonction de $\theta$ .

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