L1 Algèbre Espace vectoriel Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 2 questions

exo7 1025

Soit EE un espace vectoriel de dimension 33 et f∈L(E)f \in \mathcal{L} (E) telle que f2≠0f^2 \neq 0 et f3=0f^3 = 0. Soit x0∈E/f2(x0)≠0x_0 \in E / f^2 (x_0) \neq 0.

1

Montrer que (x0,f(x0),f2(x0))(x_0, f (x_0), f^2 (x_0)) est une base.

2

Montrer que l’ensemble des endomorphismes qui commutent avec ff est un sous-espace vectoriel de L(E)\mathcal{L} (E) de base (id,f,f2)(id, f, f^2).

Exercice bBRh

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