Remarquer que \(P'=0 \Leftrightarrow P\in K[X^p]\).

On suppose \(\sigma\) surjectif. Soit \(P(X) = Q(X^p) = a_0 + \dots + a_kX^{kp}\) un polynôme non constant à dérivée nulle. Il existe \(b_0,\dots,b_k\) tels que \(b_i^p = a_i\). Alors \(P(X) = Q(X)^p\) est réductible.

On suppose que tout polynôme irréductible a une dérivée non nulle. Soit \(a\in K\) et \(P(X) = X^p - a\). \(P'=0\) donc \(P\) est réductible. Soit \(Q\) un facteur unitaire irréductible de \(X^p-a\). Alors \(Q^p\) et \(X^p-a\) ont \(Q\) en facteur commun donc leur pgcd, \(D\), est non constant. Mais \(Q^p\) et \(X^p-a\) appartiennent à \(K[X^p]\) donc \(D\), obtenu par l’algorithme d’Euclide aussi, d’où \(D = X^p-a\) et \(X^p-a\) divise \(Q^p\). Par unicité de la décomposition de \(Q^p\) en facteurs irréductibles, il existe \(r\in\N\) tel que \(X^p-a = Q^r\). Par examen du degré on a \(r=p\) donc \(\deg Q = 1\), \(Q = X-b\) et finalement \(b^p=a\).

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