L1 Algèbre Polynôme, fraction rationnelle Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI 1 question

exo7 5340

1

Calculer la dérivée $\begin{align*}\ensuremath \left(\frac{1}{X^2+1}\right)^{(n)}&=\frac{1}{2i}(\left(\frac{1}{X-i}\right)^{(n)}-\left(\frac{1}{X+i}\right)^{(n)})=\frac{1}{2i}(\frac{(-1)(-2)...(-n)}{(X-i)^{n+1}}-\frac{(-1)(-2)...(-n)}{(X+i)^{n+1}})\\ &=(-1)^n.n!\mbox{Im}(\frac{1}{(X-i)^{n+1}})=(-1)^n.n!\mbox{Im}(\frac{(X+i)^{n+1}}{(X^2+1)^{n+1}}) =\frac{(-1)^n.n!\sum_{}^{}C_{n+1}^{2k+1}(-1)^kX^{2n-2k}}{(X^2+1)^{n+1}} \end{align*}$ -ième de $\frac{1}{X^2+1}$ .