Soit \(n\) un entier strictement positif.
1
Démontrer qu’il existe un unique couple de polynômes \(P\) et \(Q\) de degrés strictement inférieurs à \(n\) tels que \((1-X)^nP(X)+X^nQ(X)=1\).
2
Démontrer que \(P(1-X)=Q(X)\) et \(Q(1-X)=P(X)\).
3
Démontrer qu’il existe une constante \(a\) telle que \[(1-X)P'(X)-nP(X)=aX^{n-1}.\] En déduire les coefficients de \(P\) et la valeur de \(a\).