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Démontrer qu’il existe un unique couple de polynômes $P$ et $Q$ de degrés strictement inférieurs à $n$ tels que $(1-X)^nP(X)+X^nQ(X)=1$.

Démontrer que $P(1-X)=Q(X)$ et $Q(1-X)=P(X)$.

Démontrer qu’il existe une constante $a$ telle que $$(1-X)P'(X)-nP(X)=aX^{n-1}.$$ En déduire les coefficients de $P$ et la valeur de $a$.