Démontrons qu’il existe une base de $\R^3$ dans laquelle la matrice de $f$ s’écrit $B=\begin{pmatrix}1&1&0 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}.$

Nous cherchons des vecteurs $e_1,e_2,e_3$ tels que $Ae_1=e_1$ , $Ae_2=e_1+e_2$ et $Ae_3=e_2+e_3$ . Le vecteur $e_1$ appartient à $E_1=\ker(A-I)$ , et $\ker(A-I)$ est la droite d’équations :

$\{y=0,x=z\}$ . On détermine $e_2=(x,y,z)$ tel que $Ae_2=e_1+e_2$ , on obtient le système $\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 1&0&-1 \\ -1&0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+x \\ 1+y \\ z\end{pmatrix}\iff \left\{\begin{aligned}x-y&=1+x \\ x-z&=y \\ -x+2z&=1+z\end{aligned}\right. \iff\left\{\begin{aligned}y&=-1 \\ x-z&=-1\end{aligned}\right.$ Ainsi, les vecteurs $e_1=(1,0,1)$ et $e_2=(-1,-1,0)$ conviennent. Il nous reste à chercher un vecteur $e_3$ tel que $Ae_3=e_2+e_3$ , c’est-à-dire $\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 1&0&-1 \\ -1&0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+x \\ -1+y \\ z\end{pmatrix}\iff \left\{\begin{aligned}x-y&=x-1 \\ x-z&=y-1 \\ -x+2z&=z\end{aligned}\right. \iff\left\{\begin{aligned}y&=1 \\ x&=z\end{aligned}\right.$ Le vecteur $e_3=(0,1,0)$ convient. On obtient alors la matrice $P$ suivante qui est inversible et vérifie $A=PBP^{-1}$ , $P=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 0&-1&1 \\ 1&0&0\end{pmatrix}$

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