On considère la matrice suivante \[A=\begin{pmatrix}1&-1&0 \\ 1&0&-1 \\ -1&0&2\end{pmatrix}\] et \(f\) l’endomorphisme de \(\R^3\) associé.
1
Factoriser le polynôme caractéristique de \(A\).
2
Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de \(A\).
3
Démontrer qu’il existe une base de \(\R^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) s’écrit \[B=\begin{pmatrix}1&1&0 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}.\]
4
Ecrire la décomposition de Dunford de \(B\) (justifier).