1
Soit \((x,y,z)\in \Nn^3\) . Montrer que : \[\begin{aligned} x^2+y^2=z^2\Leftrightarrow \exists (x',y',z')\in \Nn^3,\exists n\in \Nn \text{ tq } \\ \text{ pgcd}(x',y',z')=1 \\ {x'}^2+{y'}^2={z'}^2 \\ x=nx' \text{ et }y=ny' \text{ et } z=nz'.\end{aligned}\]
2
Soit\((x,y,z)\in \Nn^3\) tels que \(x^2+y^2=z^2\). On suppose que pgcd\((x,y,z)=1\)
3
Montrer que \(x\) et \(y\) ne sont pas de mêmes parité.
4
On suppose \(x\) pair et \(y\) impair. On pose : \[x=2u,\ z-y=2v,\ z+y=2w\] avec \((u,v)\in \N^*\). Montrer que \(v\) et \(w\) sont premiers entre eux.
5
Montrer que \[x=2mn,\ y=m^2-n^2,\ z=m^2+n^2\] avec \(m\) et \(n\) entiers naturels de parité différentes.
6
Montrer que si \[x=2mn,\ y=m^2-n^2,\ z=m^2+n^2\] alors \[x^2+y^2=z^2.\]