L1 Algèbre Arithmétique dans Z Prépa MPSI · MP2I 3 questions

exo7 3122

Soient a,m,n ∈N∗a,m,n\ \in \N^{*}, a≥2a\ge 2, et d=(an−1)∧(am−1)d = (a^n - 1) \wedge (a^m - 1).

1

Soit n=qm+rn = qm + r la division euclidienne de nn par mm. Démontrer que an≡ar(mod am−1)a^n \equiv a^r (\mathrm{mod}\, {a^m - 1}).

2

En déduire que d=(ar−1)∧(am−1)d = (a^r - 1) \wedge (a^m - 1), puis d=a(n∧m)−1d = a^{(n \wedge m)} - 1.

3

A quelle condition am−1a^m - 1 divise-t-il an−1a^n-1 ?

Exercice kdLo

Signaler une erreur

  1. Problème
  2. Précisions
  3. Envoi
Quel est le problème ?