Une grille-réponses est une suite ordonnée de \(10\) réponses, il y a \(4\) choix possibles pour chacune. Il y a donc \(4^{10}\) grilles-réponses possibles. L’événement \(E\) <<répondre au hasard au moins \(6\) fois correctement>> est réalisé si le candidat répond bien à \(6\) ou \(7\) ou \(8\) ou \(9\) ou \(10\) questions. Notons \(A_{n}\) l’événement : <<répondre au hasard exactement \(n\) fois correctement>>. Alors, \(A_{n}\) est réalisé si \(n\) réponses sont correctes et \(10-n\) sont incorrectes : \(3\) choix sont possibles pour chacune de ces dernières. Comme il y a \(\binom{10}{n}\) choix de \(n\) objets parmi \(10\), et donc il y a : \(\binom{10}{n} \times 3^{10-n}\) façons de réaliser \(A_{n}\) et : \[\begin{equation} P(A_n)=\frac{\binom{10}{n}\cdot 3^{10-n}}{4^{10}} \end{equation}\] pour \(n= 6, 7, 8, 9, 10\). \(P(E)=\sum_{n=6}^{10}\frac{\binom{10}{n}\cdot 3^{10-n}}{4^{10}} \simeq 1.9728\times 10^{-2}\), soit environ \(2\)%.

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