Une grille-réponses est une suite ordonnée de $10$ réponses, il y a $4$ choix possibles pour chacune. Il y a donc $4^{10}$ grilles-réponses possibles. L’événement $E$ <<répondre au hasard au moins $6$ fois correctement>> est réalisé si le candidat répond bien à $6$ ou $7$ ou $8$ ou $9$ ou $10$ questions. Notons $A_{n}$ l’événement : <<répondre au hasard exactement $n$ fois correctement>>. Alors, $A_{n}$ est réalisé si $n$ réponses sont correctes et $10-n$ sont incorrectes : $3$ choix sont possibles pour chacune de ces dernières. Comme il y a $\binom{10}{n}$ choix de $n$ objets parmi $10$ , et donc il y a : $\binom{10}{n} \times 3^{10-n}$ façons de réaliser $A_{n}$ et : $\begin{equation} P(A_n)=\frac{\binom{10}{n}\cdot 3^{10-n}}{4^{10}} \end{equation}$ pour $n= 6, 7, 8, 9, 10$ . $P(E)=\sum_{n=6}^{10}\frac{\binom{10}{n}\cdot 3^{10-n}}{4^{10}} \simeq 1.9728\times 10^{-2}$ , soit environ $2$ %.

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