Dans \(\Cc\), on note \([z_0\rightarrow[\) la demi-droite \(\{\rho e^{i\theta_0}\ ;\ \rho\geq\rho_0\}\), si \(z_0=\rho_0 e^{i\theta_0}\). On déclare ouvert toute réunion (éventuellement vide) de telles demi-droites.
1
Montrer qu’on a ainsi défini sur \(\Cc\) une topologie \(\cal T\) non séparée.
2
Montrer que l’adhérence du point \(\{z_0\}\) pour cette topologie est \([0,z_0]\).
3
En déduire que les fermés de \(\cal T\) sont les ensembles étoilés par rapport à \(0\) (\(A\) est dit “étoilé par rapport à \(0\)" si, pour tout \(z\in A\), le segment \([0,z]\) est encore dans \(A\)).