Soit \((E,d)\) un espace métrique complet, et \(f\) une application de \(E\) dans \(E\) telle qu’il existe \(k\in \mathbb{R},\ 0< k< 1\) tel que \(d(f(x),f(y))\leq k\ d(x,y)\ \ \forall x\in E,\ \forall y\in E\).
Montrer que \(f\) est continue sur \((E,d)\).
Soient \(x_0\in E \mbox{ et pour } n\geq 0,\ x_{n+1}=f(x_n)\). Montrer que la suite \((x_n)_{n\geq 0}\) est de Cauchy dans \((E,d)\).
Montrer que cette suite converge vers un point fixe de \(f\), c’est-à-dire une solution de \(f(l)=l\). Montrer que ce point fixe est unique.
Application: montrer que le système \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} x_1 &=\frac{1}{5}(2\sin x_1 + \cos x_2 )\\ x_2 &=\frac{1}{5}( \cos x_1 +3 \sin x_2) \end{array} \right.\) admet une solution unique \((x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2\).