exo7 1868

Montrer que $f$ est continue sur $(E,d)$.

Soient $x_0\in E \mbox{ et pour } n\geq 0,\ x_{n+1}=f(x_n)$. Montrer que la suite $(x_n)_{n\geq 0}$ est de Cauchy dans $(E,d)$.

Montrer que cette suite converge vers un point fixe de $f$, c’est-à-dire une solution de $f(l)=l$. Montrer que ce point fixe est unique.

Application: montrer que le système $\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} x_1 &=\frac{1}{5}(2\sin x_1 + \cos x_2 )\\ x_2 &=\frac{1}{5}( \cos x_1 +3 \sin x_2) \end{array} \right.$ admet une solution unique $(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2$.