Soit \(\R^n\) considéré comme groupe additif muni de sa topologie usuelle. Soit \(G\) un sous-groupe de \(\R^n\).
1
On suppose que \(0\) est isolé dans \(G\). Montrer que tout point est isolé, que \(G\) est discret et fermé dans \(\R^n\).
On se restreint maintenant au cas \(n=1\).
2
Montrer qu’alors, \(G\) est soit \(\{0\}\), soit de la forme \(a\Zz\), \(a>0\).
3
Montrer que si \(0\) est point d’accumulation, \(G\) est partout dense dans \(\R\). En déduire ainsi les sous-groupes fermés de \(\R\).
4
On considère \(\alpha\notin \Qq\); montrer que \({\Zz}+\alpha{\Zz}\) est un sous-groupe dense de \(\Rr\). En déduire les valeurs d’adhérence de la suite \((e^{2i\pi n\alpha})_{n\in \Zz}\).