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On suppose que $0$ est isolé dans $G$. Montrer que tout point est isolé, que $G$ est discret et fermé dans $\R^n$.

On se restreint maintenant au cas $n=1$.

Montrer qu’alors, $G$ est soit $\{0\}$, soit de la forme $a\Zz$, $a>0$.

Montrer que si $0$ est point d’accumulation, $G$ est partout dense dans $\R$. En déduire ainsi les sous-groupes fermés de $\R$.

On considère $\alpha\notin \Qq$; montrer que ${\Zz}+\alpha{\Zz}$ est un sous-groupe dense de $\Rr$. En déduire les valeurs d’adhérence de la suite $(e^{2i\pi n\alpha})_{n\in \Zz}$.