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Donner les définitions d’une topologie, d’un espace topologique Hausdorff, d’un espace topologique quasi compact, d’un espace topologique compact, d’un espace topologique connexe, et d’un espace topologique connexe par arcs.

Donner un exemple d’un espace topologique connexe mais pas connexe par arcs (une démonstration n’est pas demandée !).

Soit $A\subset \Rr^n$. Montrer que $A$ est quasi compact si et seulement si $A$ est fermé et borné (énoncer clairement les théorèmes utilisés!).

Soit $X$ un espace topologique. Montrer que si $X$ ne contient qu’un seul élément, alors $X$ est compact.

Soit $(X,d)$ un espace métrique. Donner la définition d’une suite de Cauchy dans $X$. Sous quelle condition dit-on qu’une suite $x_n$ converge vers $a\in X$ (noté $x_n \to a$) ?

Soit $(X,d)$ un espace métrique et $x_n$ une suite dans $X$. Montrer que (1) si $x_n$ est une suite de Cauchy, alors $x_n$ est bornée, et (2) si $x_n \to a$, alors $x_n$ est une suite de Cauchy.