Soit \(f:\Rr^2 \to \Rr\) une fonction continue, posons \(M = \Rr^2 \setminus \{\, (x,y) \mid f(x,y) = 0 \,\}\) et \(V= \{\, g:M \to \Rr \mid g \text{ dérivable, } \forall x\in M\,:\, g'(x) = 0 \,\}\).
1
Montrer que \(M\) est un ouvert de \(\Rr^2\) et que \(V\) est un espace vectoriel.
2
Calculer la
dimension de l'espace $V$ dans les cas suivants~:
3
\(f(x,y) = x^2 + y^2 - 1\),
4
\(f(x,y) = \sin(x)\),
5
$f(x,y) = y^2 - x(x-1)(x-t)$.
Dans le dernier cas on vous demande de calculer la
dimension de $V$ en fonction de $t\in [0,1]$
(indication~: esquisser l'ensemble $f(x,y)=0$ et
distinguer les cas $t=0$, $t=1$, $0