L3 Topologie Espace topologique, espace métrique 4 questions

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On dit qu’une distance est ultramétrique si elle vérifie l’inégalité triangulaire renforcée : d(x,z)≤max⁡(d(x,y),d(y,z)).d(x,z)\leq\max(d(x,y),d(y,z)). Etablir les assertions suivantes :

1

Si d(x,y)≠d(y,z)d(x,y)\neq d(y,z), alors d(x,z)=max⁡(d(x,y),d(y,z)).d(x,z)=\max(d(x,y),d(y,z)). En déduire que tout triangle dans EE est isocèle.

2

Toute boule ouverte B(x,r)B(x,r) est un ensemble à la fois ouvert et fermé, et B(x,r)=B(y,r)  ∀y∈B(x,r).B(x,r)=B(y,r)\ \ \forall y\in B(x,r).

3

Toute boule fermée B′(x,r)B'(x,r) est un ensemble à la fois ouvert et fermé, et B′(x,r)=B′(y,r)  ∀y∈B′(x,r).B'(x,r)=B'(y,r)\ \ \forall y\in B'(x,r).

4

Si deux boules ont un point commun, elles sont emboı̂tées.

Exercice MoQC

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