On dit qu’une distance est ultramétrique si elle vérifie l’inégalité triangulaire renforcée : \[d(x,z)\leq\max(d(x,y),d(y,z)).\] Etablir les assertions suivantes :
1
Si \(d(x,y)\neq d(y,z)\), alors \(d(x,z)=\max(d(x,y),d(y,z)).\) En déduire que tout triangle dans \(E\) est isocèle.
2
Toute boule ouverte \(B(x,r)\) est un ensemble à la fois ouvert et fermé, et \[B(x,r)=B(y,r)\ \ \forall y\in B(x,r).\]
3
Toute boule fermée \(B'(x,r)\) est un ensemble à la fois ouvert et fermé, et \[B'(x,r)=B'(y,r)\ \ \forall y\in B'(x,r).\]
4
Si deux boules ont un point commun, elles sont emboı̂tées.