On désigne par \(d(a,b)\) la distance euclidienne usuelle de \(a,b\in\Rr^2\) et on pose
\[\delta(a,b)= \left \{\begin{array}{ccc} &d(a,b)\enskip &\hbox{si}\enskip a,b\enskip \hbox{sont alignés avec l'origine}\enskip O\\ &d(0,a)+d(0,b)\enskip & \hbox{sinon} \end{array}\right.\]
Montrer que \(\delta\) est une distance sur \(\Rr^2\) (“distance SNCF") plus fine que la distance usuelle.
Dans la suite, on suppose \(\Rr^2\) muni de la topologie associée à \(\delta\).
Soit \(H\) le demi-plan \(\{(x,y)\ ;\ y>0\}\) ; montrer que \(H\) est un ouvert ; déterminer \(\overline H\).
Quelle est la topologie induite sur une droite vectorielle; sur le cercle unité \(\Gamma\) ?
Lesquelles des transformations suivantes sont continues : homothéties de centre \(O\) ; rotations de centre \(O\) ; translations ?