L3 Topologie Espace topologique, espace métrique 4 questions

exo7 2348

On désigne par d(a,b)d(a,b) la distance euclidienne usuelle de a,b∈R2a,b\in\Rr^2 et on pose

δ(a,b)={d(a,b)sia,bsont aligneˊs avec l’origineOd(0,a)+d(0,b)sinon\delta(a,b)= \left \{\begin{array}{ccc} &d(a,b)\enskip &\hbox{si}\enskip a,b\enskip \hbox{sont alignés avec l'origine}\enskip O\\ &d(0,a)+d(0,b)\enskip & \hbox{sinon} \end{array}\right.

1

Montrer que δ\delta est une distance sur R2\Rr^2 (“distance SNCF") plus fine que la distance usuelle.

Dans la suite, on suppose R2\Rr^2 muni de la topologie associée à δ\delta.

2

Soit HH le demi-plan {(x,y) ; y>0}\{(x,y)\ ;\ y>0\} ; montrer que HH est un ouvert ; déterminer H‾\overline H.

3

Quelle est la topologie induite sur une droite vectorielle; sur le cercle unité Γ\Gamma ?

4

Lesquelles des transformations suivantes sont continues : homothéties de centre OO ; rotations de centre OO ; translations ?

Exercice GMun

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