Soit \(M_n({\Rr})\) l’ensemble des matrices carrées d’ordre \(n\), muni de la distance \(d(A,B)=\max_{i,j}\vert a_{i,j}-b_{i,j}\vert\) où \(A=(a_{i,j})\) et \(B=(b_{i,j})\).
1
Montrer que l’ensemble des matrices inversibles est un ouvert dense de \(M_n({\Rr})\).
2
Dans le cas \(n=2\), décider si les ensembles suivants sont ouverts, fermés, ni ouverts ni fermés :
\({\cal A}\) = matrices ayant deux valeurs propres distinctes et \(>0\).
\({\cal B}\) = matrices ayant deux valeurs propres \(>0\).