Soit \(E\) un ensemble non vide, et \(X=E^{\Nn}\) l’ensemble des suites \(x=(x_n)\) d’éléments de \(E\). Pour \(x,y\in X\), on pose \(p(x,y)=\min\{n/x_n\neq y_n\}\) si \(x\neq y\), et \(\infty\) si \(x=y\).
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Montrer que \(d(x,y)={1\over p(x,y)}\) (avec \({1\over\infty}=0\)) est une distance sur \(X\) qui vérifie l’inégalité ultramétrique \[d(x,z)\leq\max(d(x,y),d(y,z)).\]
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Quelles sont les boules ouvertes et les boules fermées pour cette métrique ?