L3 Topologie Espace topologique, espace métrique 2 questions

exo7 6054

Soit EE un ensemble non vide, et X=ENX=E^{\Nn} l’ensemble des suites x=(xn)x=(x_n) d’éléments de EE. Pour x,y∈Xx,y\in X, on pose p(x,y)=min⁡{n/xn≠yn}p(x,y)=\min\{n/x_n\neq y_n\} si x≠yx\neq y, et ∞\infty si x=yx=y.

1

Montrer que d(x,y)=1p(x,y)d(x,y)={1\over p(x,y)} (avec 1∞=0{1\over\infty}=0) est une distance sur XX qui vérifie l’inégalité ultramétrique d(x,z)≤max⁡(d(x,y),d(y,z)).d(x,z)\leq\max(d(x,y),d(y,z)).

2

Quelles sont les boules ouvertes et les boules fermées pour cette métrique ?

Exercice CRAl

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