Une suite de \(l^\infty\) est notée \((x^p)_{p\in \Nn}\), pour chaque \(p \ge 0\), \(x^p\) est elle même une suite \(x^p = (x^p(0), x^p(1), x^p(2), \ldots)\). (Il convient de garder la tête froide : on regarde des suites de suites !) Il faut montrer que \(Y\) est fermé dans \(X\). Soit donc \((x^p)\) une suite de \(Y\) qui converge vers \(x \in X\). Il faut donc montrer qu’en fait \(x\in Y\), c’est-à-dire que \(x= (x(0),x(1),\ldots)\) est une suite tendant vers \(0\). Soit \(\epsilon >0\) comme \(x^p \rightarrow x\) alors il existe \(P\) tel que si \(p \ge P\) on ait \(d(x^p,x) < \epsilon\). Par la définition de \(d\) on a pour \(p \ge P\) et pour tout \(n\in \Nn\), \(|x^p(n)-x(n)| < \epsilon\). Fixons \(p=P\), alors \(x^P \in Y\) donc \(x^P\) est une suite tendant vers \(0\), donc il existe \(N\) tel que si \(n\ge N\) alors \(|x^P(n)|<\epsilon\). Réunissons tout cela, pour \(n\ge N\) : \[|x(n)|=|x(n)-x^P(n)+x^P(n)| \le | x(n)-x^P(n)|+|x^P(n)| \le 2\epsilon.\] Donc la suite \(x\) tend vers \(0\), donc \(x\in Y\) et \(Y\) est fermé. Notons \(Z\) l’ensemble des suites nulles à partir d’un certain rang. Pour \(y = (y(0),y(1),y(2),\ldots) \in Y\), définissons la suite \(y^0 = (y(0),0,0,\ldots)\), \(y^1=(y(0),y(1),0,0,\ldots)\),... \(y^p=(y(0),\ldots,y(p-1),y(p),0,0,0,\ldots)\). La suite \((y^p)\) est bien une suite d’éléments de \(Z\). De plus \(d(y^p,y) = \sup_{n\in \Nn} |y^p(n)-y(n)| = \sup_{n > p} |y(n)|\) or la suite \(y(n)\) tend vers \(0\) donc \(d(y^p,y)\) tend vers \(0\) quand \(p\) tend vers \(+\infty\).

On montre facilement (par l’absurde) que l’élément \(x = (1,1,1,\ldots )\in X\) n’est limite d’aucune suite d’éléments de \(Z\), (ni d’ailleurs de \(Y\)).

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