Une suite de $l^\infty$ est notée $(x^p)_{p\in \Nn}$ , pour chaque $p \ge 0$ , $x^p$ est elle même une suite $x^p = (x^p(0), x^p(1), x^p(2), \ldots)$ . (Il convient de garder la tête froide : on regarde des suites de suites !) Il faut montrer que $Y$ est fermé dans $X$ . Soit donc $0$ une suite de $Y$ qui converge vers $x \in X$ . Il faut donc montrer qu’en fait $x\in Y$ , c’est-à-dire que $x= (x(0),x(1),\ldots)$ est une suite tendant vers $0$ . Soit $\epsilon >0$ comme $x^p \rightarrow x$ alors il existe $P$ tel que si $p \ge P$ on ait $d(x^p,x) < \epsilon$ . Par la définition de $d$ on a pour $p \ge P$ et pour tout $n\in \Nn$ , $|x^p(n)-x(n)| < \epsilon$ . Fixons $p=P$ , alors $x^P \in Y$ donc $x^P$ est une suite tendant vers $0$ , donc il existe $N$ tel que si $n\ge N$ alors $|x^P(n)|<\epsilon$ . Réunissons tout cela, pour $n\ge N$ : $|x(n)|=|x(n)-x^P(n)+x^P(n)| \le | x(n)-x^P(n)|+|x^P(n)| \le 2\epsilon.$ Donc la suite $x$ tend vers $0$ , donc $x\in Y$ et $Y$ est fermé. Notons $Z$ l’ensemble des suites nulles à partir d’un certain rang. Pour $y = (y(0),y(1),y(2),\ldots) \in Y$ , définissons la suite $y^0 = (y(0),0,0,\ldots)$ , $y^1=(y(0),y(1),0,0,\ldots)$ ,... $y^p=(y(0),\ldots,y(p-1),y(p),0,0,0,\ldots)$ . La suite $(y^p)$ est bien une suite d’éléments de $Z$ . De plus $d(y^p,y) = \sup_{n\in \Nn} |y^p(n)-y(n)| = \sup_{n > p} |y(n)|$ or la suite $y(n)$ tend vers $0$ donc $d(y^p,y)$ tend vers $0$ quand $p$ tend vers $+\infty$ .

On montre facilement (par l’absurde) que l’élément $x = (1,1,1,\ldots )\in X$ n’est limite d’aucune suite d’éléments de $Z$ , (ni d’ailleurs de $Y$ ).

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