1
Donner la définition d’un espace topologique \(T_1\).
2
Montrer qu’un espace topologique \(X\) est \(T_1\) si et seulement si : \(\forall x\in X\ :\ \{x\}\) est fermé.
3
Soit \(X\) un espace topologique contenant un nombre fini de points. Montrer que si \(X\) est \(T_1\), alors sa toplogie est la topologie discrète.
4
Soit \(X\) un espace topoogique \(T_1\) ayant la propriété : \(\forall x\in X, \forall A\subset X\ : \text{ $A$ fermé et $x\notin A$ } \Longrightarrow \exists U,V\text{ ouverts } : x\in U,\ A\subset V,\ U\cap V = \emptyset\). Montrer que \(X\) est \(T_2\).