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Donner la définition d’un espace topologique $T_1$.

Montrer qu’un espace topologique $X$ est $T_1$ si et seulement si : $\forall x\in X\ :\ \{x\}$ est fermé.

Soit $X$ un espace topologique contenant un nombre fini de points. Montrer que si $X$ est $T_1$, alors sa toplogie est la topologie discrète.

Soit $X$ un espace topoogique $T_1$ ayant la propriété : $\forall x\in X, \forall A\subset X\ : \text{ $A$ fermé et $x\notin A$ } \Longrightarrow \exists U,V\text{ ouverts } : x\in U,\ A\subset V,\ U\cap V = \emptyset$. Montrer que $X$ est $T_2$.