1
Soit \(E\) un espace métrique et \(A \subset E\) une de ses parties. On désigne par \(\overline A\) l’adhérence de \(A\) et par \(\mathrm{Fr} (A)\) la frontière de \(A\) dans \(E.\) On a \(\mathrm{Fr} (A) = \overline{A} \cap \overline{A^c}\).
2
Montrez que \(x \in\mathrm{Fr} (A),\) si et seulement si il existe une suite \((x_n)\) d’éléments de \(A\) et une suite \((y_n)\) d’éléments du complémentaire \(E \setminus A\) de \(A\) dans \(E,\) qui convergent l’une et l’autre vers \(x.\)
3
Soit \(E=]-\infty,-1]\cup [0,1[ \cup [2,+\infty[\) muni de la topologie induite par \(\Rr.\) Avec \(A=[0,\frac 12],\) qu’elle est la frontière de \(A\) dans \(E.\) Considérée comme sous-partie de \(\Rr,\) qu’elle serait la frontière de \(A\) dans \(\Rr\)?