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Soit $E$ un espace métrique et $A \subset E$ une de ses parties. On désigne par $\overline A$ l’adhérence de $A$ et par $\mathrm{Fr} (A)$ la frontière de $A$ dans $E.$ On a $\mathrm{Fr} (A) = \overline{A} \cap \overline{A^c}$.

Montrez que $x \in\mathrm{Fr} (A),$ si et seulement si il existe une suite $(x_n)$ d’éléments de $A$ et une suite $(y_n)$ d’éléments du complémentaire $E \setminus A$ de $A$ dans $E,$ qui convergent l’une et l’autre vers $x.$

Soit $E=]-\infty,-1]\cup [0,1[ \cup [2,+\infty[$ muni de la topologie induite par $\Rr.$ Avec $A=[0,\frac 12],$ qu’elle est la frontière de $A$ dans $E.$ Considérée comme sous-partie de $\Rr,$ qu’elle serait la frontière de $A$ dans $\Rr$?