Soit \((X,d)\) un espace métrique, et soit \(\varphi\) une fonction réelle définie pour \(x\geq0\), vérifiant (i) \(\varphi(0)=0\), (ii) \(\varphi\) croissante, (iii) \(\varphi(u)>0\) si \(u>0\), (iv) \(\varphi(u+v)\leq\varphi(u)+\varphi(v)\).
Montrer que \(\delta(x,y)=\varphi(d(x,y))\) définit une distance sur \(X\).
Vérifier que les fonctions \(\varphi_1(u)=\inf(u,1)\), \(\varphi_2(u)={u\over{1+u}}\), \(\varphi_3(u)=\log(1+u)\), et \(\varphi_4(u)=u^\alpha\) où \(0<\alpha<1\) remplissent les conditions (i) (ii) et (iii); plus généralement, montrer que toute fonction \(f\) strictement croissante, concave, telle que \(f(0)=0\) remplit ces conditions.
On suppose de plus que la fonction \(\varphi\) est continue en \(0\). Montrer que les métriques \(d\) et \(\delta\) sont topologiquement équivalentes.
Montrer que \(\delta_1=\varphi_1(d)\) et \(\delta_2=\varphi_2(d)\) sont lipschitz-équivalentes.