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Montrer que $\delta(x,y)=\varphi(d(x,y))$ définit une distance sur $X$.

Vérifier que les fonctions $\varphi_1(u)=\inf(u,1)$, $\varphi_2(u)={u\over{1+u}}$, $\varphi_3(u)=\log(1+u)$, et $\varphi_4(u)=u^\alpha$ où $0<\alpha<1$ remplissent les conditions (i) (ii) et (iii); plus généralement, montrer que toute fonction $f$ strictement croissante, concave, telle que $f(0)=0$ remplit ces conditions.

On suppose de plus que la fonction $\varphi$ est continue en $0$. Montrer que les métriques $d$ et $\delta$ sont topologiquement équivalentes.

Montrer que $\delta_1=\varphi_1(d)$ et $\delta_2=\varphi_2(d)$ sont lipschitz-équivalentes.