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Soit $E$ un ensemble non vide, et $X=E^{\Nn}$ l’ensemble des suites $x=(x_n)$ d’éléments de $E$. Pour $x,y\in X$, on pose $p(x,y)=\min\{n/x_n\neq y_n\}$ si $x\neq y$, et $\infty$ si $x=y$.

Montrer que $d(x,y)={1\over p(x,y)}$ (avec ${1\over\infty}=0$) est une distance sur $X$ qui vérifie l’inégalité ultramétrique $$d(x,z)\leq\max(d(x,y),d(y,z)).$$