L3 Topologie Espace topologique, espace métrique 3 questions

exo7 6045

Dans un espace topologique, on définit la frontière d’une partie AA comme étant ∂A=A‾ \A∘\partial A =\overline A \ \backslash \stackrel{\circ}{A}.

1

Montrer que ∂A=∂(Ac)\partial A =\partial (A^c) et que A=∂A⟺A=\partial A \Longleftrightarrow AA fermé d’intérieur vide.

2

Montrer que ∂(A‾)\partial (\overline A) et ∂(A∘)\partial (\stackrel{\circ}{A}) sont toutes deux incluses dans ∂A\partial A, et donner un exemple où ces inclusions sont strictes.

3

Montrer que ∂(A∪B)⊂∂A∪∂B\partial(A\cup B)\subset \partial A \cup \partial B, et que l’inclusion peut être stricte; montrer qu’il y a égalité lorsque A‾∩B‾=∅\overline A\cap \overline B =\emptyset (établir A∪B∘⊂A∘∪B∘\stackrel{\circ}{A\cup B}\subset\stackrel{\circ}{A} \cup \stackrel{\circ}{B}).

Montrer que A∪B∘=A∘∪B∘\stackrel{\circ}{A\cup B}=\stackrel{\circ}{A} \cup \stackrel{\circ}{B} reste vrai lorsque ∂A∩∂B=∅\partial A \cap \partial B =\emptyset (raisonner par l’absurde).

Exercice jGNM

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