Dans un espace topologique, on définit la frontière d’une partie \(A\) comme étant \(\partial A =\overline A \ \backslash \stackrel{\circ}{A}\).
Montrer que \(\partial A =\partial (A^c)\) et que \(A=\partial A \Longleftrightarrow\) \(A\) fermé d’intérieur vide.
Montrer que \(\partial (\overline A)\) et \(\partial (\stackrel{\circ}{A})\) sont toutes deux incluses dans \(\partial A\), et donner un exemple où ces inclusions sont strictes.
Montrer que \(\partial(A\cup B)\subset \partial A \cup \partial B\), et que l’inclusion peut être stricte; montrer qu’il y a égalité lorsque \(\overline A\cap \overline B =\emptyset\) (établir \(\stackrel{\circ}{A\cup B}\subset\stackrel{\circ}{A} \cup \stackrel{\circ}{B}\)).
Montrer que \(\stackrel{\circ}{A\cup B}=\stackrel{\circ}{A} \cup \stackrel{\circ}{B}\) reste vrai lorsque \(\partial A \cap \partial B =\emptyset\) (raisonner par l’absurde).