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Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) $\forall x,y\in X,\ x\not=y,\ \exists V\ \hbox{voisinage de}\ x\ ; \ y\notin V$.

(ii) $\forall x\in X,\ \{x\}$ est fermé.

(iii) $\forall x\in X,\ \cap\ \{V\ ; \ V\ \hbox{voisinage de}\ x\}=\{x\}$.

Soit $(X,\cal T)$ ainsi et $A\subset X$ tel que $\overline A\not=A$. Montrer que si $x\in\overline A\backslash A$, tout voisinage de $x$ coupe $A$ en une infinité de points.