Soit \((X,\cal T)\) un espace topologique.
1
Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) \(\forall x,y\in X,\ x\not=y,\ \exists V\ \hbox{voisinage de}\ x\ ; \ y\notin V\).
(ii) \(\forall x\in X,\ \{x\}\) est fermé.
(iii) \(\forall x\in X,\ \cap\ \{V\ ; \ V\ \hbox{voisinage de}\ x\}=\{x\}\).
2
Soit \((X,\cal T)\) ainsi et \(A\subset X\) tel que \(\overline A\not=A\). Montrer que si \(x\in\overline A\backslash A\), tout voisinage de \(x\) coupe \(A\) en une infinité de points.