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Rappeler les définitions d’une borne supérieure (inférieure) d’un ensemble de nombres réels. Si $A$ et $B$ sont deux ensembles bornés non vides de $\Rr$, comparer avec $\sup A$, $\inf A$, $\sup B$ et $\inf B$ les nombres suivants :

(i) $\sup(A+B)$, (ii) $\sup(A\cup B)$, (iii) $\sup(A\cap B)$, (iv) $\inf(A\cup B)$, (v) $\inf(A\cap B)$.

Pour $x\in\Rr^n$ et $A\subset \Rr^n$ on définit $d(x,A)=\inf_{a\in A} ||x-a||$. Trouver $d(0,\Rr-\Qq)$, $d(\sqrt2,\Qq)$, $d(M,{\cal D})$ où $M=(x,y,z)\in\Rr^3$ et $\cal D$ est la droite de vecteur unitaire $(a,b,c)$.

Pour $A, B\subset \Rr^n$ on définit $d(A,B)=\inf_{a\in A,b\in B} ||a-b||$. Trouver $d(A,B)$ lorsque $A$ est une branche de l’hyperbole $\{(x,y)\in{\Rr^2}\ ;\ xy=1\}$ et $B$ une asymptote.

On définit $\hbox {diam} A=\sup_{a,b\in A}||a-b||$. Quel est $\hbox {diam} (]0,1[\cap\Qq)$ ? $\hbox{diam} ([0,1]\cap\Rr-\Qq)$ ?