Rappeler les définitions d’une borne supérieure (inférieure) d’un ensemble de nombres réels. Si \(A\) et \(B\) sont deux ensembles bornés non vides de \(\Rr\), comparer avec \(\sup A\), \(\inf A\), \(\sup B\) et \(\inf B\) les nombres suivants :
(i) \(\sup(A+B)\), (ii) \(\sup(A\cup B)\), (iii) \(\sup(A\cap B)\), (iv) \(\inf(A\cup B)\), (v) \(\inf(A\cap B)\).
Pour \(x\in\Rr^n\) et \(A\subset \Rr^n\) on définit \(d(x,A)=\inf_{a\in A} ||x-a||\). Trouver \(d(0,\Rr-\Qq)\), \(d(\sqrt2,\Qq)\), \(d(M,{\cal D})\) où \(M=(x,y,z)\in\Rr^3\) et \(\cal D\) est la droite de vecteur unitaire \((a,b,c)\).
Pour \(A, B\subset \Rr^n\) on définit \(d(A,B)=\inf_{a\in A,b\in B} ||a-b||\). Trouver \(d(A,B)\) lorsque \(A\) est une branche de l’hyperbole \(\{(x,y)\in{\Rr^2}\ ;\ xy=1\}\) et \(B\) une asymptote.
On définit \(\hbox {diam} A=\sup_{a,b\in A}||a-b||\). Quel est \(\hbox {diam} (]0,1[\cap\Qq)\) ? \(\hbox{diam} ([0,1]\cap\Rr-\Qq)\) ?