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Montrer que si $f:\R_+ \to R_+$ est une fonction croissante telle que $f(0)=0$ et $f(x+y)\leq f(x) +f(y)$ alors $\mathrm{dist}_f (x,y)=f(\mathrm{dist} (x,y))$ est une métrique sur $X$.

Montrer que $$\mathrm{dist}'(x,y)=\frac{\mathrm{dist}(x,y)}{1+\mathrm{dist} (x,y)}\, ,\; \forall x,y,$$ est une métrique sur $X$.

Montrer que les métriques $\mathrm{dist}$ et $\mathrm{dist}'$ sont topologiquement équivalentes.