Soit \(X\) un espace muni d’une métrique \(\mathrm{dist} : X\times X \to \R_+\).
1
Montrer que si \(f:\R_+ \to R_+\) est une fonction croissante telle que \(f(0)=0\) et \(f(x+y)\leq f(x) +f(y)\) alors \(\mathrm{dist}_f (x,y)=f(\mathrm{dist} (x,y))\) est une métrique sur \(X\).
2
Montrer que \[\mathrm{dist}'(x,y)=\frac{\mathrm{dist}(x,y)}{1+\mathrm{dist} (x,y)}\, ,\; \forall x,y,\] est une métrique sur \(X\).
3
Montrer que les métriques \(\mathrm{dist}\) et \(\mathrm{dist}'\) sont topologiquement équivalentes.