Cette exercice justifie la terminologie “boule fermée”. Il s’agit de montrer que le complémentaire d’une boule fermée est un ensemble ouvert. Il est vivement conseillé de faire un dessin. Soit \(C = E \setminus B'(a,r)\). Soit \(x \in C\), on cherche une boule ouverte \(B(x,\epsilon)\) contenue dans \(C\). Comme \(x\in C\), \(x \notin B'(a,r)\) donc \(d(a,x) > r\). Soit \(\epsilon\) tel que \(0 < \epsilon < d(a,x)-r\). Montrons que \(B(x,\epsilon) \subset C\) : pour \(y \in B(x,\epsilon)\), l’inégalité triangulaire \(d(a,x) \le d(a,y)+d(y,x)\) donc \(d(a,y) \ge d(a,x)-d(y,x) \ge d(a,x)-\epsilon >r\). Comme \(d(a,y) >r\) alors \(y \notin B'(a,r)\) donc \(y \in C\). Comme la preuve est valable quelque soit \(y \in B(x,\epsilon)\), donc \(B(x,\epsilon) \subset C\). Et donc \(C\) est un ouvert. Pour \(a=(\frac 12,0)\) et \(r=\frac 12\) on a \(B'(a,r) = [0,1]\times\{0\}\cup\{0\}\times[0,\frac 12]\), \(B(a,r) = ]0,1[ \times \{0\}\) et \(\overline{B(a,r)} = [0,1]\times\{0\}\).

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