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Montrer que $\alpha$ et $\beta$ sont des applications croissantes pour l’inclusion de ${\cal P}(X)$ dans ${\cal P}(X)$.

Montrer que si $A$ est ouvert, $A\subset \alpha(A)$ et si $A$ est fermé, $\beta(A)\subset A$. En déduire que $\alpha^2=\alpha$ et $\beta^2=\beta$.

Construire $A\subset\Rr$ tel que les cinq ensembles :

$A$, $\overline{A}$, $\stackrel{\circ}{A}$, $\alpha(A)$, $\beta(A)$ soient tous distincts.