Si \(A\) est une partie de l’espace topologique \(X\), on pose \(\alpha(A)= \stackrel{\circ}{\overline{A}}\) et \(\beta(A)=\overline{ \stackrel{\circ}{A}}\).
1
Montrer que \(\alpha\) et \(\beta\) sont des applications croissantes pour l’inclusion de \({\cal P}(X)\) dans \({\cal P}(X)\).
2
Montrer que si \(A\) est ouvert, \(A\subset \alpha(A)\) et si \(A\) est fermé, \(\beta(A)\subset A\). En déduire que \(\alpha^2=\alpha\) et \(\beta^2=\beta\).
3
Construire \(A\subset\Rr\) tel que les cinq ensembles :
\(A\), \(\overline{A}\), \(\stackrel{\circ}{A}\), \(\alpha(A)\), \(\beta(A)\) soient tous distincts.