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Soient $X$ et $Y$ des espaces topologiques, et soit $Y^X = \{\,f:X \to Y \,\}$ l’espace de toutes les fonctions de $X$ dans $Y$. Pour $A\subset X$ et $B \subset Y$ on définit $V(A,B) \subset Y^X$ par $V(A,B) = \{\,f:X \to Y \mid f(A) \subset B\,\}$. La topologie compacte-ouverte sur $Y^X$ a une sous-base constituée des ensembles $V(A,B)$ où $A\subset X$ est compact et $B\subset Y$ est ouvert.

Montrer que $Y^X$ avec la topologie compacte-ouverte est Hausdorff si et seulement si $Y$ est Hausdorff. (Indication : pour le “seulement si” penser à une fonction constante.)