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Soient \(X\) et \(Y\) des espaces topologiques, et soit \(Y^X = \{\,f:X \to Y \,\}\) l’espace de toutes les fonctions de \(X\) dans \(Y\). Pour \(A\subset X\) et \(B \subset Y\) on définit \(V(A,B) \subset Y^X\) par \(V(A,B) = \{\,f:X \to Y \mid f(A) \subset B\,\}\). La topologie compacte-ouverte sur \(Y^X\) a une sous-base constituée des ensembles \(V(A,B)\) où \(A\subset X\) est compact et \(B\subset Y\) est ouvert.
Montrer que \(Y^X\) avec la topologie compacte-ouverte est Hausdorff si et seulement si \(Y\) est Hausdorff. (Indication : pour le “seulement si” penser à une fonction constante.)