Par l’inégalité triangulaire \(|f(x)+f'(x)| \le |f(x)|+|f'(x)|\) on obtient \(\| f \| \le N(f)\). Pour une inégalité dans l’autre sens décomposons le travail :

\(\|f'\|_\infty \le \| f \|_\infty + \|f\|\) : en effet par l’inégalité triangulaire \(|f'(x)| \le |f(x)|+|f'(x)+f(x)|\).
\(\|f\|_\infty \le \|f\|\) : en effet \(f\) est continue sur \([0,1]\) donc elle est bornée et atteint ses bornes. Soit \(x_0 \in [0,1]\) ce point du maximum. Si \(x_0 \in ]0,1[\) alors \(f'(x_0)=0\) donc \(\|f\|_\infty = |f(x_0)| = |f(x_0)+f'(x_0)| \le \|f\|\). Si \(x_0 = 1\) alors \(f\) et \(f'\) ont même signe sur un intervalle \([1-\epsilon,1]\) donc sur cet intervalle \(|f(x)| \le |f(x)+f'(x)|\) et donc \(\|f\|_\infty = |f(1)| \le \|f\|\). (Enfin \(f(0)=0\) donc si \(x_0=0\) alors \(f\) est nulle et l’inégalité est triviale.)
Il reste à rassembler les expressions : \[N(f) = \|f'\|_\infty + \|f\|_\infty \le \|f\|_\infty + \|f\| + \|f\|_\infty \le 3\|f\|.\] (La première inégalité vient du premier point et la deuxième du second.)

Les normes \(\| f \|\) et \(N(f)\) sont équivalentes : \[\frac13 N(f) \le \| f \| \le N(f).\]

exo7 2347