Par l’inégalité triangulaire $|f(x)+f'(x)| \le |f(x)|+|f'(x)|$ on obtient $\| f \| \le N(f)$ . Pour une inégalité dans l’autre sens décomposons le travail :

$\|f'\|_\infty \le \| f \|_\infty + \|f\|$ : en effet par l’inégalité triangulaire $|f'(x)| \le |f(x)|+|f'(x)+f(x)|$ .
$\|f\|_\infty \le \|f\|$ : en effet $f$ est continue sur $[0,1]$ donc elle est bornée et atteint ses bornes. Soit $x_0 \in [0,1]$ ce point du maximum. Si $x_0 \in ]0,1[$ alors $f'(x_0)=0$ donc $\|f\|_\infty = |f(x_0)| = |f(x_0)+f'(x_0)| \le \|f\|$ . Si $x_0 = 1$ alors $f$ et $f'$ ont même signe sur un intervalle $[1-\epsilon,1]$ donc sur cet intervalle $|f(x)| \le |f(x)+f'(x)|$ et donc $\|f\|_\infty = |f(1)| \le \|f\|$ . (Enfin $f(0)=0$ donc si $x_0=0$ alors $f$ est nulle et l’inégalité est triviale.)
Il reste à rassembler les expressions : $N(f) = \|f'\|_\infty + \|f\|_\infty \le \|f\|_\infty + \|f\| + \|f\|_\infty \le 3\|f\|.$ (La première inégalité vient du premier point et la deuxième du second.)

Les normes $\| f \|$ et $N(f)$ sont équivalentes : $\frac13 N(f) \le \| f \| \le N(f).$

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