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Soit $X$ un ensemble non vide et $\Sigma$ une famille de parties de $X$ stable par intersection finie et contenant $X$. Montrer que la plus petite topologie $\cal T$ contenant $\Sigma$ (la topologie engendrée par $\Sigma$) est constituée des unions d’ensembles de $\Sigma$, ou, de façon équivalente,

$$A\in{\cal T}\Longleftrightarrow \forall x\in A\ \exists S\in \Sigma\ ;\ x\in S\subset A.$$

Montrer que l’on peut affaiblir l’hypothèse de stabilité par intersection finie en :

$(*)\qquad\forall S_1, S_2\in\Sigma,\ \forall x\in S_1\cap S_2,\ \exists S_3\in\Sigma\ ;\ x\in S_3\subset S_1\cap S_2.$