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[exn7] Soit \(X\) un ensemble non vide et \(\Sigma\) une famille de parties de \(X\) stable par intersection finie et contenant \(X\). Montrer que la plus petite topologie \(\cal T\) contenant \(\Sigma\) (la topologie engendrée par \(\Sigma\)) est constituée des unions d’ensembles de \(\Sigma\), ou, de façon équivalente,
\[A\in{\cal T}\Longleftrightarrow \forall x\in A\ \exists S\in \Sigma\ ;\ x\in S\subset A.\]
Montrer que l’on peut affaiblir l’hypothèse de stabilité par intersection finie en :
\((*)\qquad\forall S_1, S_2\in\Sigma,\ \forall x\in S_1\cap S_2,\ \exists S_3\in\Sigma\ ;\ x\in S_3\subset S_1\cap S_2.\)