On considère la suite de polynômes sur \([-1,1]\) \[f_n(x)={{\int_0^x(1-t^2)^n\ dt}\over {\int_0^1(1-t^2)^n\ dt}}.\]
1
Montrer que pour tout \(\varepsilon\), cette suite converge uniformément vers \(1\) sur l’intervalle \([\varepsilon,1]\), et vers \(-1\) sur l’intervalle \([-1,-\varepsilon]\).
Indication : Comparer \(\int_0^1(1-t^2)^n\ dt\) à \(\int_0^1(1-t)^n\ dt\).
2
En déduire que la suite \(g_n(x)=\int_0^x f_n(t)\ dt\) converge uniformément vers \(\vert x\vert\) sur \([-1,1]\).
3
Montrer que dans l’exercice [gijsexopol] la convergence est aussi uniforme sur \([-1,1]\), en établissant une relation de récurrence satisfaite par l’erreur \(\epsilon_n(t)=\vert t\vert-p_n(t).\)