L3 Topologie Espace topologique, espace métrique 3 questions

exo7 6138

On considère la suite de polynômes sur [−1,1][-1,1] fn(x)=∫0x(1−t2)n dt∫01(1−t2)n dt.f_n(x)={{\int_0^x(1-t^2)^n\ dt}\over {\int_0^1(1-t^2)^n\ dt}}.

1

Montrer que pour tout ε\varepsilon, cette suite converge uniformément vers 11 sur l’intervalle [ε,1][\varepsilon,1], et vers −1-1 sur l’intervalle [−1,−ε][-1,-\varepsilon].

Indication : Comparer ∫01(1−t2)n dt\int_0^1(1-t^2)^n\ dt à ∫01(1−t)n dt\int_0^1(1-t)^n\ dt.

2

En déduire que la suite gn(x)=∫0xfn(t) dtg_n(x)=\int_0^x f_n(t)\ dt converge uniformément vers ∣x∣\vert x\vert sur [−1,1][-1,1].

3

Montrer que dans l’exercice [gijsexopol] la convergence est aussi uniforme sur [−1,1][-1,1], en établissant une relation de récurrence satisfaite par l’erreur ϵn(t)=∣t∣−pn(t).\epsilon_n(t)=\vert t\vert-p_n(t).

Exercice hNkx

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