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Soit $X$ un espace topologique, et $D$ un sous-ensemble (partout) dense dans $X$. Montrer qu’il est aussi équivalent de dire

(i) Le complémentaire de $D$ est d’intérieur vide.

(ii) Si $F$ est un fermé contenant $D$, alors $F=X$.

(iii) $D$ rencontre tout ouvert non vide de $X$.

Montrer qu’un ensemble $A\subset X$ rencontre toute partie dense dans $X$ si et seulement si il est d’intérieur non vide.

Soit $E$ et $G$ deux ouverts denses dans $X$; montrer que $E\cap G$ est encore dense dans $X$. En déduire que toute intersection dénombrable d’ouverts denses est une intersection décroissante d’ouverts denses.