On note $B= B(a,r)$ , $B'=B'(a,r)$ , $\bar B = \overline{B(a,r)}$ . Il faut montrer $B'=\bar B$ . $B'$ est une boule fermée, donc un fermé contenant $B$ , alors que $\bar B$ est le plus petit fermé contenant $B$ , donc $\bar B \subset B'$ .

Étudions l’inclusion inverse: soit $x\in B'$ , il faut montrer $x\in \bar B$ . Si $x\in B$ alors $x\in \bar B$ , supposons donc que $x\notin B$ , alors $\| x-a\| = r$ . Soit $B(x,\epsilon)$ un boule centrée en $x$ . $x$ est adhérent à $B$ si $B(x,\epsilon) \cap B$ est non vide quelque soit $\epsilon >0$ . Fixons $\epsilon > 0$ et soit le point $y = x - \frac{\epsilon}{2} \frac{x-a}{\|x-a\|}.$ Faire un dessin et placer $y$ sur ce dessin. D’une part $y\in B(x,\epsilon)$ car $\|y-x\| = \epsilon/2 < \epsilon$ . D’autre part $y\in B = B(a,r)$ car $\| y-a \| = \| x-a-\frac{\epsilon}{2}\frac{x-a}{\|x-a\|}\| = \|x-a\| (1-\frac{\epsilon}{2\|x-a\|}) = r -\frac{\epsilon}{2} <r$ . Donc $y\in B\cap B(x,\epsilon)$ , ce qui prouve que $B'\cap \bar B$ . Donc $B' = \bar B$ .

exo7 2344