On note \(B= B(a,r)\), \(B'=B'(a,r)\), \(\bar B = \overline{B(a,r)}\). Il faut montrer \(B'=\bar B\). \(B'\) est une boule fermée, donc un fermé contenant \(B\), alors que \(\bar B\) est le plus petit fermé contenant \(B\), donc \(\bar B \subset B'\).

Étudions l’inclusion inverse: soit \(x\in B'\), il faut montrer \(x\in \bar B\). Si \(x\in B\) alors \(x\in \bar B\), supposons donc que \(x\notin B\), alors \(\| x-a\| = r\). Soit \(B(x,\epsilon)\) un boule centrée en \(x\). \(x\) est adhérent à \(B\) si \(B(x,\epsilon) \cap B\) est non vide quelque soit \(\epsilon >0\). Fixons \(\epsilon > 0\) et soit le point \[y = x - \frac{\epsilon}{2} \frac{x-a}{\|x-a\|}.\] Faire un dessin et placer \(y\) sur ce dessin. D’une part \(y\in B(x,\epsilon)\) car \(\|y-x\| = \epsilon/2 < \epsilon\). D’autre part \(y\in B = B(a,r)\) car \(\| y-a \| = \| x-a-\frac{\epsilon}{2}\frac{x-a}{\|x-a\|}\| = \|x-a\| (1-\frac{\epsilon}{2\|x-a\|}) = r -\frac{\epsilon}{2} <r\). Donc \(y\in B\cap B(x,\epsilon)\), ce qui prouve que \(B'\cap \bar B\). Donc \(B' = \bar B\).

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