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Montrer que $\mathcal{B}$ est une base de $\mathcal{T}$ si et seulement si pour tout ouvert $\mathcal{O}$ et tout point $x\in \mathcal{O}$ il existe un $B\in \mathcal{B}$ tel que $x\in B\subset \mathcal{O}$.

Soit $\mathcal{T}_n$ la topologie sur $\R^n$ induite par la métrique euclidienne $$\mathrm{dist} (\bar{x}, \bar{y})=\sqrt{(x_1-y_1)^2+...+(x_n-y_n)^2}\, .$$ Montrer que l’ensemble $\mathcal{B}$ de boules ouvertes ayant leur centre dans $\Q^n$et leur rayon dans $\Q$ est une base de $\mathcal{T}_n$.

Soit $\mathcal{B}'$ l’ensemble de parallelipipèdes ouverts dans $\R^n$ dont les arêtes sont parallèles aux axes de coordonnées. Est-ce que $\mathcal{B}'$ est une base de $\mathcal{T}_n$ ?

Est-ce que $\{ ]-\infty ,a[\; ;\; a\in \R \}\cup \{ ]b, +\infty[\; ;\; b\in \R \}$ est une base pour $\mathcal{T}_1$ ?

Pour tout $a\in \Q$ on note par $\delta_a$ la droite d’équation $y=ax$ dans $\R^2$, et on note par $Y$ la réunion des droites $\delta_a$. Soit $\mathcal{T}$ la topologie sur $Y$ induite par la topologie sur $\R^2$ et soit $\mathcal{T}'$ la topologie de base $\mathcal{B}'$ composée par tous les segments ouverts $]M,N[\subset \delta_a$, $O\not\in ]M,N[$, et par toutes les reunions $\bigcup_{a\in \Q, O\in ]M_a,N_a[} ]M_a,N_a[$. Les deux topologies $\mathcal{T}$ et $\mathcal{T}'$ sont-elles équivalentes ?