On appelle base d’une topologie \(\mathcal{T}\) un sous-ensemble \(\mathcal{B}\) de \(\mathcal{T}\) tel que tout ouvert \(\mathcal{O} \in \mathcal{T}\) s’écrit comme \(\mathcal{O}=\bigcup_{i\in I} B_i\), où \(B_i \in \mathcal{B}\) pour tout \(i\in I\).
Montrer que \(\mathcal{B}\) est une base de \(\mathcal{T}\) si et seulement si pour tout ouvert \(\mathcal{O}\) et tout point \(x\in \mathcal{O}\) il existe un \(B\in \mathcal{B}\) tel que \(x\in B\subset \mathcal{O}\).
Soit \(\mathcal{T}_n\) la topologie sur \(\R^n\) induite par la métrique euclidienne \[\mathrm{dist} (\bar{x}, \bar{y})=\sqrt{(x_1-y_1)^2+...+(x_n-y_n)^2}\, .\] Montrer que l’ensemble \(\mathcal{B}\) de boules ouvertes ayant leur centre dans \(\Q^n\)et leur rayon dans \(\Q\) est une base de \(\mathcal{T}_n\).
Soit \(\mathcal{B}'\) l’ensemble de parallelipipèdes ouverts dans \(\R^n\) dont les arêtes sont parallèles aux axes de coordonnées. Est-ce que \(\mathcal{B}'\) est une base de \(\mathcal{T}_n\) ?
Est-ce que \(\{ ]-\infty ,a[\; ;\; a\in \R \}\cup \{ ]b, +\infty[\; ;\; b\in \R \}\) est une base pour \(\mathcal{T}_1\) ?
Pour tout \(a\in \Q\) on note par \(\delta_a\) la droite d’équation \(y=ax\) dans \(\R^2\), et on note par \(Y\) la réunion des droites \(\delta_a\). Soit \(\mathcal{T}\) la topologie sur \(Y\) induite par la topologie sur \(\R^2\) et soit \(\mathcal{T}'\) la topologie de base \(\mathcal{B}'\) composée par tous les segments ouverts \(]M,N[\subset \delta_a\), \(O\not\in ]M,N[\), et par toutes les reunions \(\bigcup_{a\in \Q, O\in ]M_a,N_a[} ]M_a,N_a[\). Les deux topologies \(\mathcal{T}\) et \(\mathcal{T}'\) sont-elles équivalentes ?