Soit \(p\) un nombre premier. Pour \(n\in \Nn\) on définit \(\nu(n)\) comme étant l’exposant de \(p\) dans la décomposition de \(n\) en facteurs premiers. Pour \(x = \pm \frac ab\), (\(a,b\in \Nn^*\)), on définit \(\nu(x) = \nu(a)-\nu(b)\).
1
Montrer que \(\nu(x)\) est indépendant du choix de la représentation \(\pm \frac ab\).
2
Montrer que \(\nu(xy) = \nu(x)+\nu(y)\), \(x,y\in \Qq\).
3
Montrer que \(\nu(x+y) \ge \min (\nu(x),\nu(y))\) pour \(x,y\in \Zz\), puis pour \(x,y\in \Qq\).
4
Montrer que sur \(\Qq\), \(d\) définie par : \[d(x,y) = p^{-\nu(x-y)} \ \text{ si } \ x\neq y, \qquad d(x,x)=0\] est une distance ultramétrique.