L3 Topologie Espace topologique, espace métrique 4 questions

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Soit pp un nombre premier. Pour n∈Nn\in \Nn on définit ν(n)\nu(n) comme étant l’exposant de pp dans la décomposition de nn en facteurs premiers. Pour x=±abx = \pm \frac ab, (a,b∈N∗a,b\in \Nn^*), on définit ν(x)=ν(a)−ν(b)\nu(x) = \nu(a)-\nu(b).

1

Montrer que ν(x)\nu(x) est indépendant du choix de la représentation ±ab\pm \frac ab.

2

Montrer que ν(xy)=ν(x)+ν(y)\nu(xy) = \nu(x)+\nu(y), x,y∈Qx,y\in \Qq.

3

Montrer que ν(x+y)≥min⁡(ν(x),ν(y))\nu(x+y) \ge \min (\nu(x),\nu(y)) pour x,y∈Zx,y\in \Zz, puis pour x,y∈Qx,y\in \Qq.

4

Montrer que sur Q\Qq, dd définie par : d(x,y)=p−ν(x−y)  si  x≠y,d(x,x)=0d(x,y) = p^{-\nu(x-y)} \ \text{ si } \ x\neq y, \qquad d(x,x)=0 est une distance ultramétrique.

Exercice 8eNB

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