Soit \[A=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 1&-1&2\end{pmatrix}\] Démontrons que \(A\) est diagonalisable et trouvons une matrice \(P\) telle que \(P^{-1}AP\) soit diagonale.

Commençons par calculer le polynôme caractéristique de \(A\) : \[P_A(X)=\begin{vmatrix}1-X&0&0 \\ 0&1-X&0 \\ 1&-1&2-X\end{vmatrix}=(1-X)^2(2-X)\] Les racines du polynôme caractéristique sont les réels \(1\) avec la multiplicité \(2\), et \(2\) avec la multiplicité \(1\).

Déterminons les sous-espaces propres associés : Soit \(E_1\) le sous-espace propre associé à la valeur propre double \(1\).

\(E_1=\{V(x,y,z)\in\R^3/\ A.V=V\}\), \[V\in E_1\iff \left\{\]\[\begin{aligned} x&=x \\ y&=y \\ x-y+z&=0\end{aligned}\]\[\right.\iff x-y+z=0\] \(E_1\) est donc un plan vectoriel, dont les vecteurs \(e_1=(1,1,0)\) et \(e_2=(0,1,1)\) forment une base.

Soit \(E_2\) le sous-espace propre associé à la valeur propre simple \(2\).

\(E_2=\{V(x,y,z)\in\R^3/\ A.V=2V\}\), \[V\in E_2\iff \left\{\]\[\begin{aligned} x&=2x \\ y&=2y \\ x-y+2z&=2z\end{aligned}\]\[\right.\iff x=0, y=0\] \(E_2\) est donc une droite vectorielle, dont le vecteur \(e_3=(0,0,1)\) est une base.

Les dimensions des sous-espaces propres sont égales à la multiplicité des valeurs propres correspondantes, la matrice \(A\) est donc diagonalisable. Dans la base \((e_1, e_2, e_3)\) l’endomorphisme représenté par \(A\) (dans la base canonique) a pour matrice. \[D=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&2\end{pmatrix}\] la matrice de passage \[P=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 1&1&0 \\ 0&1&1\end{pmatrix}\] vérifie \(P^{-1}AP=D\).

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