Soit \(E\) un espace vectoriel; on note \(i_E\) l’identité sur \(E\). Un endomorphisme \(u\) de \(E\) est un projecteur si \(u\circ u=u\).
Montrer que si \(u\) est un projecteur alors \(i_E-u\) est un
projecteur. Vérifier aussi que \(\text{Im} u=\{x\in E;\;\;u(x)=x\}\) et que
\(E=\text{Ker} u\oplus \text{Im} u\).
Un endomorphisme \(u\) de \(E\) est appelé involutif si \(u\circ
u=i_E\).
Montrer que si \(u\) est involutif alors \(u\) est bijectif et
\(E=\text{Im}(i_E+u)\oplus \text{Im}(i_E-u)\).
Soit \(E=F\oplus G\) et soit \(x\in E\) qui s’écrit donc de façon
unique \(x=f+g\), \(f\in F\), \(g\in\)G. Soit \(u:E\ni x\mapsto f-g\in E\).
Montrer que \(u\) est involutif, \(F=\{x\in E;\;u(x)=x\}\) et \(G=\{x\in E;\;u(x)=-x\}\).
Montrer que si \(u\) est un projecteur, \(2u-i_E\) est involutif et que tout endomorphisme involutif peut se mettre sous cette forme.