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Montrer que si $u$ est un projecteur alors $i_E-u$ est un projecteur. Vérifier aussi que $\text{Im} u=\{x\in E;\;\;u(x)=x\}$ et que $E=\text{Ker} u\oplus \text{Im} u$.
Un endomorphisme $u$ de $E$ est appelé involutif si $u\circ u=i_E$.

Montrer que si $u$ est involutif alors $u$ est bijectif et $E=\text{Im}(i_E+u)\oplus \text{Im}(i_E-u)$.
Soit $E=F\oplus G$ et soit $x\in E$ qui s’écrit donc de façon unique $x=f+g$, $f\in F$, $g\in$G. Soit $u:E\ni x\mapsto f-g\in E$.

Montrer que $u$ est involutif, $F=\{x\in E;\;u(x)=x\}$ et $G=\{x\in E;\;u(x)=-x\}$.

Montrer que si $u$ est un projecteur, $2u-i_E$ est involutif et que tout endomorphisme involutif peut se mettre sous cette forme.