Montrons que la famille $\{ x,\phi(x),\phi^2(x), \ldots , \phi ^{n-1}(x) \}$ est libre. Soient $\lambda _0, \ldots , \lambda _{n-1} \in {\R}$ tels que $\lambda _0 x + \lambda_1\phi(x)+\cdots + \lambda _{n-1} \phi ^{n-1}(x)=0$ . Alors : $\phi ^{n-1} \big(\lambda _0 x+ \lambda_1\phi(x) + \cdots + \lambda _{n-1} \phi ^{n-1}(x)\big)=0$ . Mais comme de plus $\phi ^n=0$ , on a l’égalité $\phi ^{n-1} \big(\lambda _0 x+ \lambda_1\phi(x) + \cdots + \lambda _{n-1} \phi ^{n-1}(x)\big)=\phi ^{n-1} (\lambda _0 x ) + \phi ^n \big(\lambda _1 x+ \cdots + \lambda _{n-1} \phi ^{n-2}(x)\big)= \phi ^{n-1}(\lambda _0x)=\lambda _0 \phi ^{n-1}(x)$ . Comme $\phi ^{n-1}(x) \not= 0$ on obtient $\lambda _0=0$ .

En calculant ensuite $\phi ^{n-2}\big(\lambda _1 \phi (x )+ \cdots + \lambda _{n-1} \phi ^{n-1}(x)\big)$ on obtient $\lambda _1=0$ puis, de proche en proche, $\lambda_2=2$ ,…, $\lambda _{n-1}=0$ . La famille $\{ x, \phi(x), \ldots , \phi ^{n-1}(x) \}$ est donc libre. En plus elle compte $n$ vecteurs, comme $\dim E=n$ elle est libre et maximale et forme donc une base de $E$ .

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