Soit $\omega=3x dx + (x+y) dy$ la forme différentielle naturellement associée à $\vec{V}(x,y)$ et considérons $x=\cos t$ et $y=\sin t$ comme paramétrage du cercle de centre $O$ et de rayon $1$ (avec $t\in [0;2\pi]$ ). Il s’ensuit que la circulation $\int_{C} \vec{V}.\vec{dl}$ n’est autre que : $\int_{C} \vec{V}.\vec{dl}= \int_{C} w =\int_0^{2\pi} (3\cos t (-\sin t) + (\cos t +\sin t) \cos t)dt.$ Comme $\cos^2t= \frac{\cos(2t)+1}{2}$ , on obtient : $\int_{C} \vec{V}.\vec{dl}= \int_{0}^{2\pi} (-2\sin t\cos t + \frac{\cos (2t)+1}{2}) dt = [\cos^2(t)+ \frac{1}{4}\sin(2t) +\frac{t}{2}]_0^{2\pi}=\pi.$ Remarquons que si la forme $\omega$ avait été exacte, on aurait obtenu $\int_{C} \vec{V}.\vec{dl}=0$ comme réponse, puisque l’intégrale curviligne d’une forme exacte sur une courbe fermée est nulle.

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