On rapporte le plan à un repère orthonormé direct d’origine $O$ . D’après la formule de Green-Riemann, en choisissant de prendre $P=0$ et $Q=x^2y$ de sorte que $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=xy$ , on obtient : $I= \iint_{\mathcal{D}} xydxdy=\int_{T} x^2ydy$ où l’on a noté $T$ le triangle $OAB$ orienté dans le sens direct avec $O(0,0)$ , $A(1,0)$ et $B(1,1)$ . Ainsi $I=\iint_{\mathcal{D}} xydxdy=\int_{\overset{\frown}{OA}} x^2ydy +\int_{\overset{\frown}{AB}} x^2ydy+ \int_{\overset{\frown}{BO}} x^2ydy.$ L’intégrale curviligne d’une forme différentielle sur un chemin est indépendant du paramétrage choisi pour ce chemin. Pour le calcul, nous choisissons de paramétrer $\overset{\frown}{OA}$ par $x=t$ et $y=0$ avec $t$ variant de $0$ à $1$ et ainsi $\int_{\overset{\frown}{OA}} x^2ydy=0$ . De même, nous choisissons de paramétrer $\overset{\frown}{BO}$ par $x=0$ et $y=t$ avec $t$ variant de $1$ à $0$ et ainsi $\int_{\overset{\frown}{BO}} x^2ydy=0$ . Enfin, nous choisissons de paramétrer $\overset{\frown}{AB}$ par $x=t$ et $y=1-t$ avec $t$ allant de $1$ à $0$ et donc : $I= \iint_{\mathcal{D}} xydxdy=\int_{\overset{\frown}{AB}} x^2ydy = \int_1^0 \frac{t^2(1-t) }{2}(-dt) = \int_0^1 \frac{t^2(1-t)}{2} dt = \frac{1}{24}.$ Remarquons qu’il n’aurait pas été plus difficile ici de calculer directement l’intégrale double sans utiliser la formule de Green-Riemann : $\iint_{\mathcal{D}} xy dx dy= \int_{0^1} (\int_{0}^{1-x} xy dy) dx= \int_0^1 x [\frac{y^2}{2}]_0^{1-x} dx = \int_0^1 x\frac{(1-x)^2}{2}dx = \frac{1}{24}.$

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