On rapporte le plan à un repère orthonormé direct d’origine \(O\). D’après la formule de Green-Riemann, en choisissant de prendre \(P=0\) et \(Q=x^2y\) de sorte que \(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=xy\), on obtient : \[I= \iint_{\mathcal{D}} xydxdy=\int_{T} x^2ydy\] où l’on a noté \(T\) le triangle \(OAB\) orienté dans le sens direct avec \(O(0,0)\), \(A(1,0)\) et \(B(1,1)\). Ainsi \[I=\iint_{\mathcal{D}} xydxdy=\int_{\overset{\frown}{OA}} x^2ydy +\int_{\overset{\frown}{AB}} x^2ydy+ \int_{\overset{\frown}{BO}} x^2ydy.\] L’intégrale curviligne d’une forme différentielle sur un chemin est indépendant du paramétrage choisi pour ce chemin. Pour le calcul, nous choisissons de paramétrer \(\overset{\frown}{OA}\) par \(x=t\) et \(y=0\) avec \(t\) variant de \(0\) à \(1\) et ainsi \(\int_{\overset{\frown}{OA}} x^2ydy=0\). De même, nous choisissons de paramétrer \(\overset{\frown}{BO}\) par \(x=0\) et \(y=t\) avec \(t\) variant de \(1\) à \(0\) et ainsi \(\int_{\overset{\frown}{BO}} x^2ydy=0\). Enfin, nous choisissons de paramétrer \(\overset{\frown}{AB}\) par \(x=t\) et \(y=1-t\) avec \(t\) allant de \(1\) à \(0\) et donc : \[I= \iint_{\mathcal{D}} xydxdy=\int_{\overset{\frown}{AB}} x^2ydy = \int_1^0 \frac{t^2(1-t) }{2}(-dt) = \int_0^1 \frac{t^2(1-t)}{2} dt = \frac{1}{24}.\] Remarquons qu’il n’aurait pas été plus difficile ici de calculer directement l’intégrale double sans utiliser la formule de Green-Riemann : \[\iint_{\mathcal{D}} xy dx dy= \int_{0^1} (\int_{0}^{1-x} xy dy) dx= \int_0^1 x [\frac{y^2}{2}]_0^{1-x} dx = \int_0^1 x\frac{(1-x)^2}{2}dx = \frac{1}{24}.\]

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