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Sous les conditions du théorème de Stokes, montrer les identités suivantes, où $\bf V$ est un champ de vecteur arbitraire, $\Sigma$ une surface de bord $\Gamma$, et $\phi$ et $\psi$ des fonctions $C^1$ : $$\begin{aligned} \oint \phi \,d{\bf r} &=& \int_\Sigma d{{\bf\sigma }}\wedge\nabla \varphi, \\ \oint_{\Gamma } \,d{\bf r}\wedge{\bf U} &=& \int_\Sigma \left({\bf n}\wedge\nabla \right)\wedge {\bf U} \,d\sigma, \\ \oint_{\Gamma } \varphi \nabla \psi \cdot d{\bf r} &=& \int_\Sigma \nabla \phi \wedge\nabla \psi \cdot{\bf n} \,d\sigma. \end{aligned}$$