L2 Géométrie Analyse vectorielle 3 questions

exo7 5909

(Un calcul de ∫0+∞sin⁡xx  dx\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\;dx).

1

rr et RR sont deux réels strictement positifs tels que r<Rr<R. On considère le contour Γ\Gamma orienté suivant

\[Image 1\]

Calculer l’intégrale de la forme différentielle

ω=e−yx2+y2((xsin⁡x−ycos⁡x)dx+(xcos⁡x+ysin⁡x)dy)\omega= \frac{e^{-y}}{x^2+y^2}((x\sin x-y\cos x)dx+(x\cos x+y\sin x)dy)

le long de ce contour orienté.

2

En déduire ∫rRsin⁡xx  dx\int_{r}^{R} \frac{\sin x}{x}\;dx en fonction d’une autre intégrale.

3

En faisant tendre rr vers 00 et RR vers +∞+\infty, déterminer la valeur de ∫0+∞sin⁡xx  dx\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\;dx.

Exercice P6Td

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