(Un calcul de \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\;dx\)).
1
\(r\) et \(R\) sont deux réels strictement positifs tels que \(r<R\). On considère le contour \(\Gamma\) orienté suivant
\[
\]
Calculer l’intégrale de la forme différentielle
\(\omega= \frac{e^{-y}}{x^2+y^2}((x\sin x-y\cos x)dx+(x\cos x+y\sin x)dy)\)
le long de ce contour orienté.
2
En déduire \(\int_{r}^{R} \frac{\sin x}{x}\;dx\) en fonction d’une autre intégrale.
3
En faisant tendre \(r\) vers \(0\) et \(R\) vers \(+\infty\), déterminer la valeur de \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\;dx\).