Comme $\omega$ est définie sur $\Rr^2$ , il suffit que $\psi\omega$ soit exacte pour que $f$ existe. Maintenant, $\psi\omega$ est exacte si et seulement si $\frac{\partial (\psi(x)(x^2+y^2+2x))}{\partial y } = \frac{\partial(\psi(x) 2y)} {\partial x}.$ Ceci équivaut à $2y \psi(x)=2y\psi'(x)$ . Ainsi, $\psi(x)=\psi'(x)$ pour tout $x$ . Donc $\psi(x)=k e^x$ avec $k$ constante. On peut choisir $k=1$ . Ainsi $\psi\omega=e^x(x^2+y^2+2x) dx+e^x(2y)dy.$ On cherche ensuite $f$ telle que : $\left\{ \begin{array}{lll} \frac{\partial f} {\partial x}& = &e^x(x^2+y^2+2x) \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= &e^x(2y) \\ \end{array} \right .$ En intégrant la deuxième équation par rapport à $y$ , on trouve $f(x,y)=e^xy^2+c(x).$ En dérivant cette expression par rapport à $x$ et en égalisant avec la première équation du système, on obtient $e^xy^2+c'(x)=e^x(x^2+y^2+2x)$ c’est-à-dire $c'(x)=e^x(x^2+2x).$ Il en résulte que $c(x)=x^2 e^x+c$ et donc que $f(x,y)=e^x (x^2+y^2)+c$ avec $c$ dans $\Rr$ .

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