Comme \(\omega\) est définie sur \(\Rr^2\), il suffit que \(\psi\omega\) soit exacte pour que \(f\) existe. Maintenant, \(\psi\omega\) est exacte si et seulement si \[\frac{\partial (\psi(x)(x^2+y^2+2x))}{\partial y } = \frac{\partial(\psi(x) 2y)} {\partial x}.\] Ceci équivaut à \(2y \psi(x)=2y\psi'(x)\). Ainsi, \(\psi(x)=\psi'(x)\) pour tout \(x\). Donc \(\psi(x)=k e^x\) avec \(k\) constante. On peut choisir \(k=1\). Ainsi \[\psi\omega=e^x(x^2+y^2+2x) dx+e^x(2y)dy.\] On cherche ensuite \(f\) telle que : \[\left\{ \begin{array}{lll} \frac{\partial f} {\partial x}& = &e^x(x^2+y^2+2x) \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= &e^x(2y) \\ \end{array} \right .\] En intégrant la deuxième équation par rapport à \(y\), on trouve \[f(x,y)=e^xy^2+c(x).\] En dérivant cette expression par rapport à \(x\) et en égalisant avec la première équation du système, on obtient \[e^xy^2+c'(x)=e^x(x^2+y^2+2x)\] c’est-à-dire \[c'(x)=e^x(x^2+2x).\] Il en résulte que \(c(x)=x^2 e^x+c\) et donc que \[f(x,y)=e^x (x^2+y^2)+c\] avec \(c\) dans \(\Rr\).

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