Soit \(C\) une courbe fermée du plan enclosant une aire \(S\), et \(a\), \(b\) deux réels.
1
Calculer \(\oint_C ay\,dx+bx\,dy\). En déduire que \[S = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\, dx = {1\over2}\oint_C x\,dy-y\,dx.\]
2
En utilisant la formule précédente, calculer l’aire comprise entre l’axe \(Ox\) et l’arche de la cycloı̈de d’équations \(x = t-\sin t, y = 1-\cos t\), avec \(0\leq t\leq 2\pi\).
3
De même, trouver l’aire intérieure à la boucle du folium de Descartes d’équation \(x^3+y^3=3xy\), qui est comprise dans le quadrant \(x>0\), \(y>0\) (on pourra chercher une représentation paramétrique de la boucle du folium en posant \(y = tx\)).